# Hasse-Arf teoremi

> Source: https://turkipedia.org/tr/wiki/Hasse-Arf_teoremi
> Last updated: 2026-10-05
> License: CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/). Credit "Turkipedia contributors" and link to the source.
> Based on: Hasse-Arf teoremi, https://tr.wikipedia.org/wiki/Hasse-Arf_teoremi (CC-BY-SA-4.0)

[Matematik](https://turkipedia.org/tr/wiki/Matematik)te, özellikle de [yerel sınıf cismi teorisinde](https://turkipedia.org/tr/wiki/Yerel_s%C4%B1n%C4%B1f_cismi_teorisinde), **Hasse-Arf teoremi**, sonlu bir [Galois](https://turkipedia.org/tr/wiki/Galois_grubu) genişlemesinin [Galois grubu](https://turkipedia.org/tr/wiki/Galois_grubu)nun [üstten numaralandırma](https://turkipedia.org/tr/wiki/%C3%9Cstten_numaraland%C4%B1rma) filtrelemesindeki sıçramalarla ilgili bir sonuçtur. [Rezidü cisim](https://turkipedia.org/tr/wiki/Rezid%C3%BC_cismi)lerinin sonlu olduğu özel bir durumda [Helmut Hasse](https://turkipedia.org/tr/wiki/Helmut_Hasse) tarafından[^1][^2] ve genel çözümü de [Cahit Arf](https://turkipedia.org/tr/wiki/Cahit_Arf) tarafından kanıtlanmıştır.[^3][^4]

## Açıklama

### Yüksek dallanma grupları

Teorem, sonlu bir [Abel genişlemesi](https://turkipedia.org/tr/wiki/Abel_geni%C5%9Flemesi) nin üstten numaralandırılmış yüksek dallanma gruplarıyla ilgilidir. Diyelim ki

- sonlu bir Galois genişlemesi,
- *K* 'nin,
- rezidü cismi karakteristiği olan ve
- [ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi](https://turkipedia.org/tr/wiki/Ayr%C4%B1k_de%C4%9Ferleme)

olsun. Bu değerlemenin, *L****ye biricik bir şekilde genişlemesi olsun ve bu genişlemeye *****w***** diyelim.***

- *L****nin ilişkin birimleştirilmiş değerlemesi *****ew*****, ile***
- *L****nin altındaki ***[***değerleme halkası***](https://turkipedia.org/tr/wiki/De%C4%9Ferleme_halkas%C4%B1)***, ile***

gösterilsin. 'nin [Galois grubu](https://turkipedia.org/tr/wiki/Galois_grubu) *G* olsun ve 'nin herhangi bir s≥−1 için s-inci dallanma grubunu şu şekilde tanımlayalım: Örneğin, Galois grubu 'dir. Daha yukarı numaralandırmaya geçmek için, öncelikle *ψL*/*K* fonksiyonu tanımlanmalıdır ki bu [fonksiyon](https://turkipedia.org/tr/wiki/Fonksiyon) da aşağıda tanımlanmış *η****'L*****/*****K***** fonksiyonunun tersidir:. **[**Üst numaralandırmalı dallanma grupları**](https://turkipedia.org/tr/wiki/Dallanma_grubu)**, *****s***** = *****ψL*****/*****K*****(*****t*****) olacak şekilde *****Gt*****(*****L*****/*****K*****) = *****Gs*****(*****L*****/*****K*****) ile tanımlanır.**

Bu yüksek dallanma grupları *Gt*(*L*/*K*), herhangi gerçel *t ≥−1* için tanımlıdır, ancak ayrık bir değerleme olduğundan, bu gruplar sürekli olarak değil, ayrık sıçramalarla değişir. Bu nedenle, herhangi bir *u* \> *t* için *Gt*(*L*/*K*) ≠ *Gu*(*L*/*K*) ise, *t****nin, {*****Gt*****(*****L*****/*****K*****) : *****t***** ≥ −1} filtrelemesinde bir sıçrama olduğunu söyleriz. ****Hasse–Arf Teoremi****, bu sıçramaların ***[***aritmetik***](https://turkipedia.org/tr/wiki/Aritmetik)*** doğası hakkında bilgi verir.***

## Teoremin ifadesi

Yukarıdaki tanımlar ışığında, teorem, {*G****'t*****(*****L*****/*****K*****) : *****t***** ≥ −1} filtrelemesindeki sıçramaların hepsinin **[**rasyonel tam sayı**](https://turkipedia.org/tr/wiki/Tam_say%C4%B1)[^5]** olduğunu ifade eder.**[^6][^7]

## Abel olmayan genişlemeler

Abel olmayan genişlemeler için sıçramalar tam sayılarda olmak zorunda değildir. Serre, Galois groubunun mertebesi 8 olan of order 8 kuaterniyon grubu olan tamamen dallanmış bir genişlemenin örneğini aşağıdaki gibi vermiştir:

Üst numaralandırma o zaman

- için
- için
- için

biçiminde olur. Bu yüzden, iken, yani, tam sayı olmayan bir değerde sıçrama olduğu görülür.

[^1]: Hasse, Helmut. Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper. J. Reine Angew. Math., 1930, s. 169-184. <https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1930.162.169/html>
[^2]: H. Hasse, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper, J. Fac. Sci. Tokyo 2 (1934), pp.477–498.
[^3]: Arf, Cahit. Untersuchungen über reinverzweigte Erweiterungen diskret bewerteter perfekter Körper. J. Reine Angew. Math., 1939, s. 1-44.
[^4]: --> IV.3, s.76
[^5]: "Rasyonel" kelimesi bazen siklotomik tam sayılar, Eisenstein tam sayıları, Gauss tam sayıları ve Hamilton tam sayıları gibi diğer "tam sayı" türlerinden ayırt etmek için vurgu amacıyla kullanılır.
[^6]: --> IV.3, s.76
[^7]: Theorem 8.9, p.68