Hasse-Arf teoremi

Matematikte, özellikle de yerel sınıf cismi teorisinde, Hasse-Arf teoremi, sonlu bir Galois genişlemesinin Galois grubunun üstten numaralandırma filtrelemesindeki sıçramalarla ilgili bir sonuçtur. Rezidü cisimlerinin sonlu olduğu özel bir durumda Helmut Hasse tarafından^{[1]Hasse, Helmut. Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper. J. Reine Angew. Math., 1930, s. 169-184.[2]H. Hasse, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper, J. Fac. Sci. Tokyo 2 (1934), pp.477–498.} ve genel çözümü de Cahit Arf tarafından kanıtlanmıştır.^{[3]Arf, Cahit. Untersuchungen über reinverzweigte Erweiterungen diskret bewerteter perfekter Körper. J. Reine Angew. Math., 1939, s. 1-44.[4]--> IV.3, s.76}

Açıklama

Yüksek dallanma grupları

Teorem, sonlu bir Abel genişlemesi nin üstten numaralandırılmış yüksek dallanma gruplarıyla ilgilidir. Diyelim ki

• sonlu bir Galois genişlemesi,

• K 'nin,

• rezidü cismi karakteristiği olan ve

• ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi

olsun. Bu değerlemenin, Lye biricik bir şekilde genişlemesi olsun ve bu genişlemeye w diyelim.

• Lnin ilişkin birimleştirilmiş değerlemesi ew, ile

• Lnin altındaki değerleme halkası, ile

gösterilsin. 'nin Galois grubu G olsun ve 'nin herhangi bir s≥−1 için s-inci dallanma grubunu şu şekilde tanımlayalım: Örneğin, Galois grubu 'dir. Daha yukarı numaralandırmaya geçmek için, öncelikle ψL/K fonksiyonu tanımlanmalıdır ki bu fonksiyon da aşağıda tanımlanmış η'L/K fonksiyonunun tersidir:. Üst numaralandırmalı dallanma grupları, s = ψL/K(t) olacak şekilde Gt(L/K) = Gs(L/K) ile tanımlanır.

Bu yüksek dallanma grupları Gt(L/K), herhangi gerçel t ≥−1 için tanımlıdır, ancak ayrık bir değerleme olduğundan, bu gruplar sürekli olarak değil, ayrık sıçramalarla değişir. Bu nedenle, herhangi bir u > t için Gt(L/K) ≠ Gu(L/K) ise, tnin, {Gt(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesinde bir sıçrama olduğunu söyleriz. Hasse–Arf Teoremi, bu sıçramaların aritmetik doğası hakkında bilgi verir.

Teoremin ifadesi

Yukarıdaki tanımlar ışığında, teorem, {G't(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesindeki sıçramaların hepsinin rasyonel tam sayı^{[5]"Rasyonel" kelimesi bazen siklotomik tam sayılar, Eisenstein tam sayıları, Gauss tam sayıları ve Hamilton tam sayıları gibi diğer "tam sayı" türlerinden ayırt etmek için vurgu amacıyla kullanılır.} olduğunu ifade eder.^{[4]--> IV.3, s.76[6]Theorem 8.9, p.68}

Abel olmayan genişlemeler

Abel olmayan genişlemeler için sıçramalar tam sayılarda olmak zorunda değildir. Serre, Galois groubunun mertebesi 8 olan of order 8 kuaterniyon grubu olan tamamen dallanmış bir genişlemenin örneğini aşağıdaki gibi vermiştir:

Üst numaralandırma o zaman

• için

• için

• için

biçiminde olur. Bu yüzden, iken, yani, tam sayı olmayan bir değerde sıçrama olduğu görülür.